28 декабря 2006 г.

Отрицательный показатель преломления -- уже в оптическом диапазоне

Вот, совсем проглядел: метаматериалы с отрицательным показателем преломления наконец-то добрались и до оптического диапазона. См. статью Optics Letters, Vol. 32, Issue 1, pp. 53-55, "Negative-index metamaterial at 780 nm wavelength" (она же physics/0607135), популярное изложение на сайте New Scientist.

[Комментарии на Элементах]

27 декабря 2006 г.

Ровно столько несимметричности, сколько нужно

Я тут занимаюсь переписыванием двухдублетной хиггсовской модели на геометрическом языке. В процессе этого выясняется, что многие результаты, полученные вычислениями в лоб, имеют простую и прозрачную геометрическую или алгебраическую суть.

Вот например есть такое явление в двух-дублетной модели: спонтанное CP-нарушение в хиггсовском секторе. Спонтанное нарушение какой-то симметрии означает, что задача симметрией обладает, а её решение -- нет.

Оказывается, для того, чтоб в двух-дублетной модели наблюдалось спонтанное CP-нарушение, надо, чтоб хиггсовский потенциал имел немножко "необязательной" симметрии, но не слишком много. Если симметрии нет совсем, то никакого CP-сохранения нет уже на уровне лагранжиана -- это случай явного CP-нарушения, который не очень интересный. Если же симметрии будет слишком много, то не останется никакой возможности для спонтанного её нарушения. Т.е. несимметричности должно быть ровно столько, сколько нужно!

Это сказано в столь общих терминах, что думается, это явление не ограничивается моим конкретным случаем. Очень хотелось бы понять -- насколько это общий физический или математический факт. Надо попробовать построить еще примеры, желательно чисто математические.

[Комментарии на Элементах]

10 декабря 2006 г.

Тик-так...

Когда я в тихой комнате прислушиваюсь к тиканию часов, то мне слышится вовсе не одинаковое тик-так, тик-так, а иногда явно звонче, иногда приглушеннее. Кто-нибудь такое замечал? Думается, что это психологический эффект из-за ожидания очередного тик-така. Часы самые обычные, настенные, на том самом китайском квадратном часовом механизме :)

[Комментарии на Элементах]

7 декабря 2006 г.

(Не)локальность

Поскольку тут зашел длинный разговор про то, что такое локальность физических теорий, и даже спросили мое личное мнение, то я выскажусь отдельным сообщением.

Всегда, когда я встречался с понятием локальности, речь шла о вполне конкретной вещи: изменение во времени некоторой динамической переменной зависит от значений этой переменной в данной точке и её бесконечно малой окрестности. Или в эквивалентной формулировке -- от значений этой переменной и конечного числа её производных по координатам в данной точке. Соответственно, нелокальность означает, что эволюция во времени зависит от значения этой переменной в других точках. Обычно уравнения удается разделить на "свободные" уравнения и члены, описывающие взаимодействия, и тогда вопрос о локальности теории сводится к локальности взаимодействия.

Да, если уж проводить быть аккуратным, то надо говорить, что эти "точки" пространства относятся именно к конфигурационному пространству. Однако как правило именно конфигурационное пространстве шире "обычного" (пример -- N частиц), поэтому одинаковые точки конфигурационного пространства отвечают одинаковым точкм и обычного пространства.


Теперь кое-какая конкретика.

1.
Начну с квантовой механики, так проще. УШ содержит потенциал -- оператор взаимодействия частицы с кем-то. Тот факт, что этот потенциал создает какое-то другое тело, находящееся далеко, никого не беспокоит -- только из-за этого теория еще не считает нелокальной. Если потенциал есть полином от операторов дифференцирования конечного порядка по координатам, то такой потенциал локален. Если же оператор потенциала явно записывается в интегральной форме


V[ψ] = \int V(x,x') ψ(x') dx'


или же имеет такие бяки как


1/(1-dx) = 1 + dx + dx2 + ...


то он нелокален, поскольку эволюция в.ф. в данной точке зависит от в.ф. в других точках.

2.
В КТП (обычной) локальность означает, что лагранжиан строится из произведений полевых функций, взятых в одной и той же точке пространства-времени. Однако может статься так, что после интегрирования по тяжелым степеням свободы получившееся эффективное действие для легких частиц будет нелокальным. Такого типа нелокальные потенциалы используются в ядерной физике и низкоэнергетической адронной физике, и при том довольно активно (см. например библиографию по сепарабельным потенциалам -- это один из простейших видов нелокального взаимодействия). Так что само по себе это не страшно, надо лишь помнить, что это всё должно выводиться из более глубокой локальной теории.

Есть, конечно, и попытки засунуть нелокальность и в фундаментальную теорию, но я не слышал о каких-то существенных успехах в этой области. Если посмотреть на аксиоматическую теорию поля, то локальность одно из налагаемых там требований.

3.
Отдельно стоит поговорить про обменное взаимодействие. Казалось бы, оно явно нелокально, поскольку оператор обменного взаимодействия, действующий на двухчастичное состояние, переставляет координаты:


Vобм.[ψ(x1,x2)] ~ ψ(x2,x1)


что вовсе не пропорционально ψ(x1,x2). Однако на самом деле настоящей нелокальности тут не возникает. Дело в том, что раз мы описываем состояния тождественных частиц, то мы должны ограничить себя рассмотрением двухчастичных состояний, которые уже (анти)симметризованны, а значит, ψ(x1,x2) ~ ψ(x2,x1),
и оператор обменного взаимодействия уже не будет казаться нелокальным. Можно сказать так: в физической области гильбертова пространства состояний двухчастичной системы обменное взаимодействие тоже локально. А нелокально оно в нефизической части.

4.
А вот теперь по поводу закона Ньютона и закона Кулона. При правильной постановке задачи, заряд взаимодействует не с удаленным зарядом, а электрическим полем в данной точке. Электрическое же поле в данной точке определяется удаленным зарядом в прошлом, причем определяется не "мгновенно", а "по цепочке" вдоль светового конуса, локально. Т.е. когда-то в прошлом тело пришло "туда", в ту удаленную точку, "привезло" с собой ЭМ поле, которое сейчас мы в нашей точке и чувствуем. Это поле распространялось в соответствии с локальными уравнениями Максвелла, поэтому я не вижу никаких причин называть эту задачу фундаментально нелокальной.

Однако по аналогии с эффективным действием можно как бы "забыть" про поле и говорить только о зарядах. Тогда да, это будет наверно нелокальное упрощение исходной локальной задачи. Но это -- именно что упрощенная интерпретация. Настоящей нелокальности тут нет.

5.
Кстати, стоит отметить, что в понятии локальности присутствует явная несимметрия между координатными и импульсным (и вообще любым другим) представлением. КМ локальная именно в координатном представлении. Если УШ переписать в импульсном представлении, то оно будет явно нелокальным -- нелокальным в импульсном пространстве (член со взаимодействием там будет выражаться сверткой, а не произведением!)

Таким образом не все базисы в гильбертовом пространстве квантовой частицы равноправны, в том числе по отношению к понятию локальность.

P.S. Но я конечно не истина в последней инстанции, у меня тоже может быть неправильное представление.

[Комментарии на Элементах]

30 ноября 2006 г.

Есть ли связь между темным веществом и барионной асимметрией?

Сегодня был астрофизический семинар, выступал некто Michel Tytgat из Брюсселя. Рассказывал свою идею о том, что происхождение барионной асимметрии и происхождение темного вещества могут быть связаны друг с другом (см. например hep-ph/0606140).

Суть такова. Над Стандартной моделью строится некий довесок: новые кварки, лептоны, калибровочные бозоны. Начальная ситуация такова, что никакой барионной асимметрии нет. Затем строится такая модель их взаимодействия, что тяжелые частицы в процессе распада порождает два сектора: один сектор распадается в конце концов на обычное вещество, а второй -- на тяжелые частицы, которых мы не видим и которые составляют темную материю. Конструкция такова, что никакой асимметрии вещества в целом нет: просто барионная асимметрия в "светлой материи" как раз компенсируется противоположной асимметрией темной материи. Таким образом не только эти две, казалось бы разрозненные, вещи соединяются в нечто единое, но и возникает более-менее естественное объяснение тот "случайный" факт, что в нашей вселенной плотность темной материи и светлой материи -- одного порядка (они отличаются всего в пять раз, но в принципе могли бы отличаться на много порядков).

Правда с точки зрения физики частиц конструкция выглядит чрезвычайно неуклюже. Причем автор сам это понимает, он за время доклада несколько раз это повторял извиняющимся тоном :)

[Комментарии на Элементах]

19 ноября 2006 г.

Незашоренный взгляд со стороны

Распространена такая точка зрения, что мнение дилетанта может (и даже должно!) оказаться очень полезным, потому что "взгляд со стороны" вроде как незашоренный, свободный от предрассудков, позволяет влить свежую струю, освободиться от искусственных оков мышления и т.д.

Так вот, опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев так называемое "свежее" мнение полного дилетанта оказывается гораздо более зашоренным, чем у (грамотных) специалистов в рассматриваемом вопросе.

Суть в том, что в науке за многие века уже наработано множество очень нетривиаиальных идей и поворотов мысли. Эти повороты мысли расширяют мыслительные способности человека, позволяют понимать и доказывать то, что "в лоб" кажется совсем непонятным. Полный дилетант как правило не знаком с этими "умениями", он просто не понимает ни их возможностей, ни их последствий, и в результате он просто изначально обречен рассуждать в очень узкой колее. Хотя ему самому -- в силу неспособности увидель собственные ограничения -- кажется, что его мысли очень нетривиальны, что они предоставляют новую свободу мышления, что он открывает глаза "зашоренным узким спеиалистам".

Так что альтернативщики -- это, кроме всего прочего, представители очень зашоренных взглядов, которые сами того не понимают.

[Комментарии на Элементах]

18 ноября 2006 г.

И еще по поводу плаща-невидимки

Хотелось бы получше разобраться с работой, по которой была написана новость Возможность существования плаща-невидимки сведена к математической теореме.

В комментариях было сделано правильное замечание: если свет огибает область, в которой спрятан предмет, то он должен в процессе этого идти по пути, более длинном, чем путь "насквозь". Т.е. вроде как получается, что огибающая волна никогда не сможет полность "притвориться" невозмущенной. В крайнем случае можно осветить тело импульсом света, и тогда можно заметить, что импульс исказился: "центральная часть" импульса задержадась относительно периферической части.

На самом деле, в приближении геометрической оптики, в которым были поделаны более ранние расчеты "маскирующей оболочки", это еще не проблема. Дело в том, что давно известны активные среды, в которых групповая (не фазовая!) скорость превышает скорость света в вакууме. Вкратце -- это такая среда, которая усиливает подъем, передний фронт волнового пакета так, что эффективно получается, словно горб смещается вперед быстрее скорости света. Подчеркну, что мелкие детали волнового пакета при этом искажаются, но в целом волновой пакет сохраняет форму (и амплитуда) с хорошей точностью.

Именно это и предлагается использовать для компенсации задержки светового импульса из-за кривой траектории. Это должно -- по крайней мере в принципе -- хорошо работать, если световая вспышка не слишком короткая (длительность много больше периода колебания). Однако если вспыхнуть сверхкороткой вспышкой, то как мне кажется, невидимость исчезнет. Таким образом, в той конструкции, которая основана на геометрической оптике, получается лишь приблизительная невидимость. Что в общем не страшно -- ведь "опасные" сверхкороткие световые импульсы длительностью в фемтосекунды создавать трудно.

Но как обстоит дело с этим вопросом в новой схеме, предложенной в math.AP/0611185 ? Вот это мне пока непонятно. Дело в том, что в этой работе авторы сразу же переходят к анализу не временной зависимости, а отдельных фурье-компонент. Иными словами, проводится анализ для плоской волны фиксированной частоты. Правда, авторы делают выводы, которые годятся для любых частот. Но означает ли это, что выводы будут справедливыми, если из этих фурье-компонент собрать очень узкий волновой пакет? Я пока в этом не уверен.

[Комментарии на Элементах]

10 ноября 2006 г.

Плащ-невидимка и современная математика

Некоторое время назад в СМИ было большое оживление, связанное с открытием принципиальной возможности сделать объект невидимым для постороннего наблюдателя и практической реализацией этой идеи в микроволновом диапазоне (см. статью Эльфийский плащ стал реальностью).

Вчера я наткнулся на очень интересную статью math.AP/0611185, "Full-wave invisibility of active devices at all frequencies", в которой доказываются еще более сильные результаты.

Во-первых, на меня произвело очень сильное впечатление, что такая понятная и знакомая всем задача :) как возможность создания плаща-невидимки формулируется в виде четкой математической теоремы: неединственность решения задачи Кальдерона для уравнений Максвелла. Второе сильное впечатление я получил, когда полез искать информацию про эту задачу и выяснил, что та же самая высокая математика уже давно и вовс используется в медицине, в электроимпедансной томографии.

Суть математического утверждения, стоящего за плащом-невидимкой, очень простая. Когда мы рассматриваем объект (освещая его, например, фонариком), мы решаем обратную задачу: зная то, как мы освещаем тело, и видя то, какой свет попадает к нам в глаза, мы восстанавливаем форму, цвет и прочие свойства объекта. Свет -- это электромагнитные волны, поэтому, в более строгой формулировке, мы посылаем электромагнитные волны, а сами сидим снаружи некоторой области и меряем все электрические и магнитные поля на её границе. Имея все эти данные, мы пытаемся восстановить распределение коэффициента преломления (точнее, эл. и магн. восприимчивостей) внутри этой области. Это и есть задача Кальдерона.

Единственность решения задачи Кальдерона означала бы, что если мы на границе "видим" распределение полей от пустого пространства, то ничего кроме пустого пространства там быть не может -- т.е. объект никогда нельзя абсолютно спрятать от наблюдения. И наоборот, если абсолютный плащ-невидимка может существовать (хотя бы в принципе), то это значит, что две различные ситуации -- пустое пространство и тело, "покрытое плащом" -- приводят к идентичным наблюдательным данным на границе, что возможно только при неединственности решения задачи Кальдерона.

Предыдущие теоретические работы на самом деле трактовали задачу в очень упрощенном виде -- в пределе гометрической оптики. Т.е. рассматривалось распространение не волн, а бесконечно тонких лучей света (т.е. длина световой волны считается нулевой или по крайней мере много меньше размеров области). В данной работе доказано, что утверждение справедливо и для произвольных волн, сколь угодно длинных. Более того, если я правильно понял, дается конструктивное доказательство невидимости: т.е. по заданном телу можно построить такую оболочку, которая его делает полностью невидимым.

Но не это даже главное. Авторы утверждают, что "спрятать" не только пассивный, но и активный объект -- т.е. имеющий поглотители и излучатели ЭМ волн, токи и т.д. Говоря простыми словами, "спрятать" можно и работающие ЭМ устройства! (Какие перспективы для военных, однако!)

Вот тут начинаются, правда, тонкости, которые я не улавливаю. Утверждается, что для невидимости активных обхектов требуется использовать некое "двойное" покрытие, которе обладает какими-то математическими свойствами, невозможными для "одинарного". Бло бы интересно, если бы кто-нибудь разъяснил подробнее.

Впрочем стоит сказать, что всё это, конечно, красиво, но для практического применения наверно не сильно важно -- реально нужна не абсолютная, а приблизительная невидимость. Хотя методы, использованные в статье, могут пригодиться при реальном конструировании "плащей-невидимок".

[Комментарии на Элементах]

7 ноября 2006 г.

И еще про преонные модели

В прошлом сообщении я упомянул, что попытки построить кварки и лептоны из преонов "обычным" способом (через некое силовое взаимодействие) наталкиваются на проблемы, которых не было на более высоких уровнях устройства материи (атомы/ядра/адроны). Поясню чуть подробнее.

Если преоны -- это действительно частицы, которые связаны друг с другом в кварки какими-то силами, то исходя из современных данных, они должны быть локализованы в пространстве в области не более 10^(-18) м. По соотношению неопределенности это значит, что типичные значения кинетической энергии этих преонов составляют ТэВы и выше. В то же время, массы кварков и лептонов, построенных из преонов, на много порядков меньше -- ГэВы, МэВы, не говоря уже о нейтрино. Такое может быть только в единственном случае -- если взаимодействие между преонами настолько интенсивное, что энергия связи, во-первых, тоже составляет минус ТэВы по порядку величины, а во-вторых, чрезвычайно точно компенсирует огромную кинетическую энергию.

Построить квантовополевую модель, в которой бы естественным образом выполнялись эти требования, очень непросто, и насколько я понимаю, пока никому не удалось. Но вот интересно -- существуют ли в других разделах физики (гравитация? конденсированные среды?) точно решаемые задачи, удовлетворяющие описанным свойствам?

[Комментарии на Элементах]

5 ноября 2006 г.

Преонные звезды

Есть такая разновидность физиков, которые изучают максимально экзотические модели, из серии "что в принципе можно выдумать такого-этакого, что было бы совершенно необычно, но при этом пока что не противоречило бы имеющимся данным". Особенно сильно фантазия разыгрывается, когда речь идёт об экзотических объектах в астрофизике. (Положа руку на сердце, признаюсь, что к астрофизике я отношусь как к науке преимущественно описательной.)

Зеркальная материя, космические струны и т.д. уже не новы. Вот экзотика посвежее -- преонные звезды (astro-ph/0410417 = Phys.Lett. B616 (2005) 1-7).

Авторы пишут, что если кварки действительно состоят из частиц какого-то более глубокого уровня -- преонов, -- то по аналогии с кварковыми звездами могут быть и преонные звезды. Причем сразу заявляют, что их плотность должна быть выше, чем у классических нейтронных или кварковых звезд, т.е. речь идет о звездах размером, грубо говоря, в сантиметры. Ну и вся статья посвящена анализу стабильности таких звезд, их возможным специфическим "сигнатурам" и т.д.

Чем эта статья удивила меня? Тем что в ней делят шкуру неубитого -- и более того, еще не родившегося! -- медведя. Т.е. работа по существу пустая. Дело в том, что преонные модели устройства кварков, лептонов и т.д. конечно существуют, и их уже преложено немало, но пока нет ничего хоть чего-то работоспособного. Более того, во многих моделях образование кварков из преонов описывается совсем иначе, чем образование протонов из кварков. Т.е. нет никаких точечных частиц, никакого потенциала взаимодействия, нет никаких сил, а есть чисто топологические образования. Т.е. по сути дело, кроме слов "преоны" и их хитрых комбинаторных свойств, пока ничего не предложено.

В общем, для меня это выглядит как древнее мифотворчество: не зная, что за существа живут по ту сторону океанв, на краю земли, люди их изображали многоголовыми драконами и прочими мутантами :) По-моему, в астрофизике не только не возбраняется, но и поощряется такого рода творчество.

[Комментарии на Элементах]

30 октября 2006 г.

О новостях математики

Вот тут сообщается, что недавно появились сразу две статьи (math.AG/0610203 и math.AG/0610740), доказывающий важный результат в алгебраической геометрии: конечную порожденность канонического кольца.

Может ли кто прокомментировать этот результат и его следствия?

[Комментарии на Элементах]

28 октября 2006 г.

О глобальном потеплении климата

Наткнулся в ЖЖ на обсуждение своей недавней заметки про глобальное потепление. Почитав (скептические) комментарии, понял, что я плохо подчеркнул одну важную мысль. Попробую здесь её высказать четче.

Вот один из первых комментариев:
По-моему, про эту модель сказано, что она хорошо согласуется с данными наблюдений, на которых она построена. Как насчет построить модель на данных 1900-1950 гг., и проверить ее на наблюдениях 1950-2000 гг.?

На мой взгляд, этот комментарий прекрасно иллюстрирует общее отношение к таким прогнозам у многих людей. В нем содержится непонимание того, что сделано, по крайней мере в данной работе. А сделано-то на самом деле гораздо более сильное исследование, чем построить модель на данных 1900-1950 гг., и проверить ее на наблюдениях 1950-2000 гг.

Итак, у нас имеется нечто наблюдаемое -- в данном случае, "глобальная погода" (температура, осадки, давление и т.д.) -- и целый ряд внутренних факторов изменчивости. Мы хотим понять поведение наблюдаемой величины и использовать это понимание для её предсказания на некоторе время вперед.

Тут есть два возможных подхода. Первый -- чисто описательный: описать наблюдаемые как можно точнее и глубже, не просто построить кривые, но и обнаружить корреляции, доказать их статистическую значимость и т.д. В общем, провести статистический анализ всего набора наблюдаемых на участке времени t0-t1.

Затем, можно сделать предположение, что статистические законы, описывающие эти наблюдаемые, останутся примерно такие же и дальше, на участке времени от t1 до t2. Тогда, на основании этого можно предсказать кое-что про наблюдаемые на этом участке.

Разумеется, предположение о неизменности законов надо обосновать. Самый простой способ это сделать -- разбить доступный участок t0-t1 на два подучастка: t0-tx и tx-t1. Описанный выше анализ можно сделать на первом подучастке, на основании его предсказать что-то про второй участок и проверить, справедливо ли предположение о примерной неизменности статистических свойств. Если оно подтверждается, то после этого можно уже идти предсказывать будущее.

Именно это и предлагал автор процитированного комментария.

Ясно, что чисто описательные теории такого типа не могут удовлетворить. Наблюдаемые просто параметризуются каким-то законом, безо всякого понимания, откуда он берется и что за ним стоит. Требуется описание более глубокого типа: когда вы параметризуете силы, влияющие на изменчивость наблюдаемых. Сами же наблюдаемые вы вообще не параметризуете, а честно вычисляете, исходя из сил.

Говоря совсем простыми словами, разница такая. Описательная модель -- это когда вы следите за движением парусного корабля, плывущего через океан, в течение одной недели и пытаетесь предугадать, как он будет плыть в течение последующей недели. Более глубокая модель -- это когда вы запараметризовали все силы, под действием которых движется судно (влияние силы и направления ветра, волнения на море, осадков, гроз и т.д. на скорость движения корабля), разобрались с тем, откуда берутся эти силы (т.е. знаете переменчивость погоды в этом сезоне, знаете связь между ветром и волнением на море, знаете поведение капитана, ставящего паруса при такой-то погоде и т.д.) -- и вот на основании этих законов и пытаетесь воспроизвести траекторию корабля.

Описанная работа относится именно к такому типу исследования, и потому она во много раз полезнее и серьезнее чисто описательных моделей. Фраза "...она хорошо согласуется с данными наблюдений, на которых она построена..." к ней совершенно не применима. Эта модель согласуется с наблюдательными данными (температурой, осадками, ветрами и т.д.), но сама она построена на данных по силам, влияющим на климат: концентрации газов, скорость вырубки лесов, циклы солнечной активности, влияние аэрозолей на порог образования облаков и т.д., но никак не на самих наблюдательных данных.

Это и есть принципиально важный момент. Старые модели были, как правило, число описательные, и в их отношении скепсис оправдан. Эта работа использовала совершенно иной подход.

[Комментарии на Элементах]

20 октября 2006 г.

Сверхтекучий твердый гелий

Мне совершенно непонятна ситуация с этим сверхтекучим твердым гелием (в англоязычной терминологии -- "супертвердым гелием", supersolid). Вроде бы после первоначальной сенсации появились работы, давшие более приземленное объяснение наблюдавшимся там аномалиям момента инерции (см заметки Сверхтекучесть твердого гелия: сенсация отменяется? и Новые эксперименты с твердым гелием не подтверждают сенсацию). Потом я следил вполглаза и мне казалось, что на этом дело и успокоилось.

Однако сейчас в свежем Phys. Rev. Lett. вышли рядышком друг с другом две статьи с прямо противоположными результатами. Одна из них Phys. Rev. Lett. 97, 165301 (2006) утверждает прямым текстом, что сверхтекучесть действительно наблюдается (цитата: "We have confirmed the existence, as first reported by Kim and Chan, of a supersolid state in solid 4He at temperatures below 250 mK."), а другая, Phys. Rev. Lett. 97, 165302 (2006), не менее открытым текстом сообщает, что признаков перехода в сверхтекучее состояние не наблюдается при понижении температуры аж до 10 мК.

Кому верить? Может ли кто прокомментировать?

Эта история всё больше напоминает историю с пентакварками.

[Комментарии на Элементах]

18 октября 2006 г.

Альтернативные теории гравитации

Возможно, кому-то покажется интересной появившаяся в архиве епринтов (gr-qc/0610071) диссертация Тима Клифтона из Кембриджа под названием "Альтернативные теории гравитации". Речь там идет, конечно, не о эфирах и т.п., а о некоторых возможных вариантах изменения уравнений ОТО и их космологических последствиях. Теории глобального времени там, к сожалению, не обнаружилось, а то было бы интересно.

[Комментарии на Элементах]

16 октября 2006 г.

Уравнение Навье-Стокса: продолжение банкета

Всю прошлую неделю шло обсуждение, решила ли Пени Смит задачу на миллион или нет. А сегодня в архиве епринтов появилась еще одна статья на эту тему, и какая! physics/0610101, "Blow Ups of Complex Solutions of the 3D-Navier-Stokes System", авторы Dong Li, Yakov Sinai (судя по всему, тот самый знаменитый российский математик Яков Синай, работающий сейчас в Принстоне).

Как видно из заголовка, авторы опровергают гипотезу о гладкости решений уравнения Навье-Стокса. Правда, тут есть нюанс -- речь в статье идет о комплекснозначном решении уравнений. Следует ли отсюда аналогичный вывод о вещественно-значном решении, я не знаю.

Очень интересное развитие событий!

[Комментарии на Элементах]

6 октября 2006 г.

Решена еще одна из "Задач тысячелетия"?

Еще не утихли страсти по Перельману, а в архиве епринтов появилась новая сенсация. В статье math/0609740 утверждается, что получено решение еще одной задачи, за которую Институте Клэя обещал миллион долларов: проблема гладкости решения уравнения Навье-Стокса (см. официальную формулировку и популярное объяснение из журнала Компьютерра).

Автор статьи -- Пенелопа Смит, известный специалист в этой области. В последние годы она уже опубликовала несколько работ, посвященных свойствам гладкости разных дифуров. (На этой страничке дается полу-популярное изложение её результатов).

См. обсуждение этой работы в англоязычных блогах: 1, 2.

Интересно отметить, что двумерный аналог этой задачи уже был решен давно, и причем еще одной знаменитой женщиной-математиком -- Ольгой Александровной Ладыженской.

UPD:
Автор статьи math/0609740, в которой предлагается решение одной из задача тысячелетия, отозвала свою статью из архива епринтов. По-видимому, потребовалась доработка.

Такая вот загогулина, понимашь. (с)

[Комментарии на Элементах]

25 сентября 2006 г.

Европейская программа по физике элементарных частиц

Обращаю внимание на очень важную публикацию: Towards the European strategy for particle physics: the Briefing Book (hep-ph/0609216).

Это 200-страничный документ с подробным описанием планов Европейского союза, касающихся физики элементарных частиц. В основном речь идет о будущих экспериментах (причем не только на ближайшее, но и на далекое будущее), о тех вопросах физики элементарных частиц, которые можно будет с их помощью изучить, а также о том, какие технические и инженерные задачи потребуется решить для их реализации. Кроме этого, подробно описывается, какую конкретную практическию пользу принесут обществу эти исследования (в качестве побочных результатов).

[Комментарии на Элементах]

Дифракция в физике элементарных частиц: рассказ второй

РАССКАЗ ВТОРОЙ: ДИФРАКЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ -- ОТ ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ ДО ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

В предыдущем рассказе я описывал то, как в физике элементарных частиц изучаются разные явления микромира. В частности, два ключевых аспекта сильного взаимодействия -- общие свойства адронов и их глубинная кварковая структура -- изучаются в реакциях столкновения при очень малых и очень больших энергиях. Было замечено, однако, что существует еще один класс адронных реакций -- дифракционное рассеяние, который является ключом к новому свойству адронов -- возникающих в них динамических структур при высоких энергиях. Сейчас поговорим о том, что же такое эта дифракция.

Дифракция света: удивительное, но неизбежное явление

Начну с полезного замечания, осознание которого пришло к физикам не сразу, а после длительного изучения реакций столкновения адронов. Несмотря на то, что фотон не является связанным состоянием кварков и вообще ни из чего не состоит, с точки зрения адронных реакций он ведет себя как типичный адрон. Более того, он ведет себя как адрон с наипростейшей структурой. Именно поэтому мы в дальнейшем часто будет обсуждать фотон-адронные столкновения как один из простейших примеров адронных реакций.

Представим себе процесс столкновения фотона с покоящимся тяжелым ядром. Если энергия фотона мала по сравнению с типичными ядерными энергиями (1 МэВ), то идет чисто упругое рассеяние -- эффект Комптона, но только на ядре. Если энергия фотона превысит типичную энергии ядерных возбуждений, то процесс столкновения будет преимущественно неупругий. В ГэВном диапазоне энергий падающий фотон уже обладает достаточной энергией, чтобы разрушить ядро на несколько осколков. Наконец, при еще более высоких энергиях происходит не только развал ядра, но и рождение множества иных частиц. Такая картина вовсе не специфична для фотон-ядерных столкновений, а наблюдается при соударении любых адронов. Можно сказать так: при больших энергиях столкновения адроны становятся очень "хрупкими" объектами.

Зададимся теперь вопросом: какова вероятность того, что в фотон-ядерных столкновениях при сверхвысоких энергиях ядро не разрушится? С учётом только что сказанного кажется естественным, что чем выше полная энергия, тем меньше вероятность ядру "выжить" в этом столкновении. Можно сравнить столкновение адронов со столкновением двух хрустальных ваз с большой скоростью -- вероятность упругого рассеяния в этом случае исчезающе мала. Поэтому может показаться очень удивительным, что эксперимент дает для этой вероятности с добрый десяток процентов. Более того, оказывается, что доля упругого процесса вовсе не падает с ростом энергией, а остается примерно постоянной! (На самом деле она даже растёт с ростом энергии, но очень медленно; он этом будет чуть попозже).

Такое удивительное поведение вероятности упругого рассеяния, на самом деле, легко объясняется квантовой механикой. Представим себе аналогичный опыт с рассеянием света на маленьком непрозрачном, абсолютно поглощающем свет шарике. Если забыть про волновую природу света, то есть представлять его как пучок прямых световых лучей, то каждый луч может либо пролететь мимо, никак не отклонившись, либо попасть на шарик, полностью поглотившись. Однако это не вся правда: благодаря тому, что свет -- это еще и волна, он еще может дифрагировать, как бы отклоняться от первоначального направления распространения. Стандартная задачка для студентов третьего курса -- доказать, что вероятность упругого рассеяния квантовой частицы на полностью поглощающем шарике равна 50%.

Как происходит дифракция фотона?

Всё бы хорошо, но возникает вопрос: как именно, за счёт каких сил фотон отклоняется при дифракции? Это важный момент, и поэтому опишем его чуть подробнее.

Важно понимать, что это чисто геометрический эффект, и тут нет никакого нового силового взаимодействия. Свет, приходящий с какого-то фиксированного направления, представлояет собой плоскую волну: прямой ровный фронт, распространяющийся строго вперед. Это -- абсолютно неизбежная связь. Фиксированное направление распространения -- это неизбежно гладкий волновой фронт, без изъянов. Соответственно, неплоский фронт неизбежно представляет собой поток света, приходящий с разных направлений (или уходящий в разные направления).

Когда на пути светового плоского фронта возникает непрозрачный шарик, то в структуру световой волны вносятся большие возмущения: ведь непосредственно за шариком световое поле имеет резкий провал. Такое световое поле неизбежно распадается на набор лучей, расходящихся в разные стороны от шарика. Это и есть дифракция.

То, что аналогичный эффект происходит и с рассеянием света на ядрах, уже не кажется удивительным. Раз свет -- волна, значит он может дифрагировать на препятствиях, в том числе и на ядрах, с этим не поспоришь. Но раз дифракция -- чисто волновой эффект, не связанный конкретно с фотонами, то она должна иметь место при столкновении любых частиц, например, при столкновении двух протонов при высокой энергии. Протоны -- как и любые другие частицы в микромире -- обладают волновыми свойствами, а значит, точно также, как и свет, могут испытывать дифракцию. Можно сказать, что дифракционные процессы в столкновении адронов еще раз напрямую доказывают волновые свойства сталкивающихся частиц.

Взаимопревращения частиц -- новые грани дифракции

В отличие от волновой оптики или квантовой механики, ситуация в квантовой теории поля обладает важной особенностью. В квантовой механике нет взаимопревращения частиц: фотон, падающий на препятствие, может дифрагировать, но он остаётся при этом фотоном. В квантовой теории поля разрешены -- и активно происходят -- превращения одних частиц в другие: главное, чтобы при этом соблюдались "правила игры", т.е. сохраняющиеся величины: энергия, импульс, заряды, а также зачастую спин и другие квантовые числа.

Благодаря этим превращениям открываются новые возможности для процессов типа дифракции. Например, при столкновении фотона с протоном при больших энергиях очень активно идёт такая реакция: протон не изменяется, лишь чуть-чуть отклоняется, а фотон превращается в один из векторных мезонов: ро-мезон, фи-мезон, J/psi-мезон и т.д., летящий в том же направлении, что и исходный фотон. Несмотря на то, что в этих реакциях рождаются разные частицы, основные свойства этих реакций (им будет посвящен следующий рассказ) поразительно схожи. Глядя на экспериментальные данные, полученные в последние 5-10 лет, не возникает сомнения, что в глубине всех этих реакций лежит какой-то универсальный процесс, протекающий всегда одинаково, и лишь проецирующийся в конце на разные состояния.

Используя (загадочную пока) терминологию предыдущего рассказа, можно сказать, что этот процесс есть столкновение тех динамических структур, которые образуются в адронах при высоких энергиях.

Итак, выводы. Отклонение света на препятствиях -- представитель очень широкого класса дифракционных процессов. Во-первых, дифрагировать (то есть, слегка отклоняться без разрушения) может не только свет, но и любые микроскопические частицы. Это чисто волновой эффект, не связанный с конкретным типом взаимодействия. Во-вторых, дифракция без изменения типа частиц -- частный случай более общего дифракционного рассеяния, в котором частицы могут не только слегка отклоняться, но и "слегка изменяться" -- превращаться в другие, близкие по характеристикам частицы.

Детальный разбор обобщенной дифракции

Микроскопическая картинка для такой "обобщённой дифракции" чуть более абстрактна, чем приведенное выше микроскопическое объяснение дифракции света. Приведу для примера это объяснение в случае дифракционного превращения фотонов в векторные мезоны.

С точки зрения адронных реакций фотон -- это не "настоящая частица", не настоящий адрон, а очень специфическая комбинация целого ряда адронов: семейства ро-мезонов (основного и возбужденных состояний), семейства фи-мезонов и т.д. -- в общем, всех адронов, которые обладают тем же спином и четностями, что и фотон. Еще раз подчеркну: тот факт, что фотон -- это полноправная элементарная частица, квант электромагнитного поля, в мире адронных реакций никого не волнует. Для этого мира фотон -- это какой-то определенный набор кварк-антикварковых пар, который можно представить в виде наложенных друг на друга "истинных адронов" (правда, виртуальных, но это не суть важно). Такая суперпозиция адронов очень "сбалансирована". Если хоть чуть-чуть изменить вклад каких-то компонент, то в конечном итоге мы увидим на выходе не фотон, а комбинацию "фотон плюс другие мезоны".

Сразу после прохождения фотоном препятствия (протона, ядра и т.п.), в первоначальном волновом фронте появляется провал и -- кроме этого -- нарушается баланс разных адронных компонент в фотоне. Поэтому после такого возмущения в исходной волне появляются, кроме всего прочего, и мезоны, слегка отклонившиеся от первоначального направления движения фотона. Можно сказать, что дифракция как бы актуализирует адронные степени свободы, которые скрыто присутствовали в фотоне.

[Комментарии на Элементах]

19 сентября 2006 г.

Наконец-то измерили спин Omega-гиперона

С удивлением прочитал статью Phys. Rev. Lett. 97, 112001 (2006) коллаборации BaBar. В ней сообщается об измерении спина Омега-гиперона. Да-да, того самого, который сыграл большую роль при становлении кварковой модели еще 40 лет назад. Оказывается, до сих пор никто так и не сумел определить его спин в эксперименте; до сих пор ВСЕ опирались на предсказания кварковой модели, в которой он равен 3/2. (BaBar подтвердил это значение -- правда с небольшой оговоркой.)

С одной стороны, понятно, что в отличие от массы и времени жизни, спин гиперона померять гораздо труднее, поскольку требуется собрать хорошую чистую статистику по угловым распределениям продуктов распада. Но с другой стороны, как-то удивительно, что за сорок лет никто эту дыру не удосужился закрыть -- и это касается не только Омеги, что и других гиперонов. Только BaBar с их безумно большой статистикой по адронным распадам смогла что-то выцарапать.

Кстати, зашел сейчас на сайт Particle Data Group, на котором приводятся во всех подробностях войства всех элементарных частиц, и обнаружил забавную фичу: PDG Live. Удобство -- кроме интерактивности -- в том, что под каждфм числом, под каждым измерением стоит ссылка на те публикации (в SLAC Spires), откуда оно взято.

[Комментарии на Элементах]

15 сентября 2006 г.

Дифракция в физике элементарных частиц: рассказ первый

О том, что протоны, нейтроны и другие сильно взаимодействующие элементарные частицы состоят из кварков, пишут уже в школьных учебниках. Протон, например, состоит из трёх кварков, которые удерживаются вместе сильным взаимодействием. На самом же деле устройство протона несравненно более удивительно и разнообразно,
чем такая приближённая картинка. В определенных условиях внутри протона сами собой складываются сложные и хрупкие динамические структуры. Дифракционные процессы в столкновения частиц -- этот как раз способ обнаружить и изучить эти структуры.

РАССКАЗ ПЕРВЫЙ: ЧТО И КАК ИЗУЧАЕТСЯ В ФИЗИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Как элементарные частицы изучаются в эксперименте?

Поскольку элементарные частицы и так являются самыми маленькими частицами вещества, их нельзя "разрезать на кусочки" чем-то более острым. Поэтому единственный способ узнать об их устройстве -- это разогнать частицы до очень высоких скоростей, столкнуть друг с другом и посмотреть, что из этого получится. Именно для этого строятся ускорители элементарных частиц, а точка столкновения частиц обставляется чувствительными приборами --
детекторами.

Даже если встречные пучки элемнетарных частиц сфокусировать и направить друг в друга, то в большинстве случаев исходные частицы просто пролетают мимо, не испытывая никаких превращений и лишь слегка отклоняясь от первоначального пути. Такой процесс называется упругим рассеянием, и из него можно извлечь очень немного информации об устройстве частиц. Однако изредка происходят и столкновения "лоб в лоб", и тогда запасенная в частицах энергия тратится на рождение множества новых частиц. Такие реакции называются неупругими. Величину неупругости можно определить количественно. Если, например, в высокоэнергетическом столкновении электрона и протона электрон лишь отклонился, а протон превратился в какой-то слегка более тяжёлый барион (например, в возбуждённое состояние протона N*), то это процесс с небольшой неупругостью, поскольку лишь небольшая часть первоначальной энергии потратилась на изменение внутреннего состояния частицы. Если же, наоборот, в этом столкновении вместо протона возникла целая лавина разнообразных адронов с большой суммарной массой, то такой процесс называется глубоко-неупругим рассеянием электрона.

Родившиеся частицы разлетаются из точки столкновения, проходят сквозь детекторы, оставляют там свой след. Анализируя данные детекторов, физики могут восстановить то, какие частицы родились в реакции, каковы их массы, времена полураспада, угловое распределение, поляризация и так далее. Сравнивая эти данные с теоретическими расчётами и позволяет делать выводы о внутреннем устройстве и свойствах частиц.

Первый классический эксперимент такого типа провёл Эрнест Резерфорд в 1911 году. Облучив тонкую металлическую фольгу альфа-частицами, он обнаружил, что некоторые из них отклоняются на очень большие углы. Если бы атомы были рыхлыми, равномерно заполненными веществом шариками, то такого сильного упругого рассеяния просто не могло бы произойти. Если же внутри атомы есть очень компактное положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, то столь сильное отклонение альфа-частиц становится возможным. Так угловое распределение рассеянных частиц позволило установить структуру атома.

Похожие по духу эксперименты использутся физиками и сейчас, когда требуется "прощупать" компактную сердцевину внутри какой-то частицы.

Какие реакции столкновения выбрать?

В физике элементарных частиц есть три основных взаимодействия -- электромагнитное, сильное и слабое, и каждое из них влияет на процессы столкновения, рождения и распада частиц самыми разными способами. Естественно желание распутать этот клубок: для каждого взаимодействия,
для каждого проявления тех или иных сил найти такую реакцию, в которой оно выступало бы в наиболее чистом виде.

Например, низкоэнергетические процессы с участием одних лишь электронов, позитронов и фотонов являются идеальной проверкой для теории электромагнитных взаимодействий, поскольку электроны в сильных взаимодействиях не участвуют, а слабыми взаимодействиями при низких энергиях можно пренебречь.

Для изучения слабых взаимодействий удобно следить за распадами
метастабильных адронов либо за реакциями с участием нейтрино. В Стандартной модели физики элементарных частиц считается, что слабое и электромагнитное взаимодействия являются двумя разными проявлениями единого электрослабого взаимодействия. Для изучения деталей того, как именно происходит такое объединение, полезно смотреть на высокоэнергетические реакции с участием электронов, в которых не рождаются адроны. Выделение именно этого класса реакций из всей мешанины возможных высокоэнегетических реакций -- непростая экспериментальная задача, но она вполне осуществима.

Наконец, если мы хотим изучать сильные взаимодействия, то сталкивать надо сильно взаимодействующие частицы -- адроны. "Зоопарк" адронов очень разнообразен, и потому можно поинтересоваться, прежде всего, их классификацией и статическими характеристиками: массами, арядами, спинами, магнитными моментами и другими численными характеристиками, которвые совокупно называются квантовыми числами адронов. Всем этим занимается адронная спектроскопия. Стандартные эксперименты в этой области -- это низкоэнергетические реакции перехода между всевозможными адронами, зависимость этих реакций от энергии, от поляризации и т.д.

Адронная спектроскопия может показаться скучным занятием, чем-то сродни "переписи населения", но уже в ней открывается целый ряд замечательных свойств адронов. Бросается в глаза их группировка в мультиплеты и супермультиплеты, причём в реакциях с участием партнеров по мультиплету прослеживаются простые численные закономерности, объясняемые теорией групп. Количество адронов в одном супермультиплете и значения их масс тоже подчинаются простым соотношениям. Именно они сорок лет назад натолкнули учёных на простую структуру, лежащую в основе всех адронов, а затем и на кварковую модель. Ещё одним замечательным открытием является обнаруженная более сорока лет назад примерно линейная зависимость между спином адрона и квадратом его массы (график Чу-Фротши), давшая толчок струнным моделям адронов.

Может показаться удивительным, но адронная спектроскопия до сих пор остаётся жарким полем битв теоретиков. Ежемесячно публикуются десятки научных статей, посвященных эпопее с открытием и закрытием(?) пентакварка, непонятному статусу лёгких скалярных мезонов (есть они или нет их?), структуре a0 и f0 мезонов, поиску глюболов и прочей экзотики. Связано это прежде всего с тем, что общей теории, позволившей вычислить свойства адронов исходя из кваркового состава, пока не создано. И задача это не столько физическая, сколько математическая: не зря за решение этой задачи (правда, в более широком контексте) Математический Институт Клея присудил премию в миллион долларов.

Если энергию адронов увеличить на один-два порядка, то картина их столкновения полностью преображается. Вместо соударений и взаимопревращений многочисленных адронов, центральным процессом становится жёсткое столкновение отдельных кварков и глюонов из встречных частиц. Испытав упругое рассеяние на большие углы, эти кварки пытаются разлететься, но за ними тянется шлейф из глюонных сил, который затем превращается в многочисленные летящие во все стороны адроны -- происходит адронизация.

Реакции такого типа -- жёсткие адронные столкновения -- в чём-то проще, а в чём-то сложнее низкоэнергетических процессов. Простота состоит в том, что главный процесс, кварк-кварковое, глюон-глюонное или кварк-глюонное столкновение, можно во всех деталях и с высокой точностью вычислить теоретически. Поэтому такие реакции помогают понять поведение отдельных кварков и глюонов. Однако на пути от точки реакции в детектору кварки и глюоны неизбежно претерпевают адронизацию -- и вот её-то теоретики описывать пока не умеют. Поэтому задача сравнения теоретических предсказаний с экспериментом становится очень тяжёлой.

Может показаться, что узнав общие, статические свойства адронов и их глубинную, "самую микроскопическую" структуру, мы узнали о них всё. 1970-е годы принесли удивительное открытие, что это далеко не так. Оказывается, что в быстро движущемся адроне существуют новые динамические структуры. Они не проявляются в свойствах неподвижных адронов просто потому, что для развития им нужна большая скорость. Они "не видны" также и на уровне отдельных кварков и глюонов, поскольку жёсткие столкновения и последующая адронизация попростую разрушают эти структуры. Структуры эти проявляются в особом режиме адронных столкновений, называемом дифракцией. Но об этом -- в следующем рассказе.

[Комментарии на Элементах]

6 сентября 2006 г.

Магнитные линии заузленных проводов

Подумалось вот: если взять замкнутый провод, но не просто окружность, а заузленную кривую, и пустить по нему ток, то какова будет геометрия магнитных полей?

Будут ли существовать заузленные линии поля? Какой тип заузливания у них будет? Ясно, что достаточно близко к проводу линии магнитного поля будут обычными, почти круглыми. Получается, будет существовать некоторая поверхность в пространстве, ограничивающая простые линии от заузленных. Интересно, можно ли установить топологические свойства этой поверхности, не проводя никаких явных аналитических расчётов, а пользуясь только определением магнитного поля?

[Комментарии на Элементах]

2 сентября 2006 г.

Антропное происхождение численного значения массы протона

Слегка спекулятивный текст, который я написал несколько лет назад для сайта Русский Переплет.

Микроскопическая теория сильных взаимодействий -- квантовая хромодинамика (КХД) -- незамкнутая теория. В её формулировке (на уровне лагранжиана) все параметры безразмерны, в ней исходно нет никаких масс (для аккуратности массы легких кварков нужно положить равными нулю, ничего из последующего от этого не изменится). Тем не менее, она в результате описывает мир частиц с массами -- протонов, нейтронов, пи-мезонов и т.д.

Все эти массы, по сути, возникают из-за явления размерной трансмутации -- появления в теории как бы "извне" некоторого числа с размерностью массы, называемого ЛямбдаКХД. Она-то и задаёт тот масштаб масс, который наблюдается у адронов, составленных из лёгких кварков: порядка 10-28 -- 10-27 кг.

Можно спросить: а есть ли что-то глубокое в этом численном значении? Могла ли масса протона оказаться совсем-совсем другой?

Мне кажется, кое-что интересное в этом есть.

Начнем с того, что раз КХД незамкнута, то ничто внутри этой теории не может предсказать значение ЛямбдаКХД. Оно должно появиться, когда КХД скрестят с другими теориями в рамках какого-нибудь великого взаимодействия. Но какая теория сможет правильно это сделать -- пока неизвестно.

Но это нас не должно смущать. Главное, в (более широкой) теории какая-то масса протона все же существует.

Теперь думаем дальше, в духе антропного принципа. Чтобы "кто-то" имел возможность выражать массы адронов в "привычных для себя" единицах измерения, нужно, чтобы этот кто-то существовал. То есть, нужно, чтобы из адронов (и других частиц, если они есть) "организовался" наблюдатель.

Ясно, что "наблюдатель" -- структура очень сложная. Из 10 протонов ничего такого не получится. Из миллиарда -- тоже. Сколько именно нужно собрать протонов и других частиц, чтобы наблюдатель в той или иной форме получился -- сказать трудно, на совсем грубо порядок оценить можно.

В нашем мире, как мы видим, масштаб в миллиарды атомов (плюс-минус пару порядков) -- это то, где начинают образовываться на молекулярном уровне первые "живые" структуры. Масштаб в миллионы таких молекул -- это клетки живых существ. Масштаб в миллиарды клеток -- это уже высокоразвитые живые существа, то есть, мы с вами.

Мне кажется, что такая иерархия -- вещь довольно-таки строгая. Можно придумать другие миры, со слегка другими законами физики, но общее свойство -- надо собрать вместе очень большое число элементарных кирпичиков, чтобы получился "наблюдатель" -- должно сохраниться.

То есть, характерный масштаб масс, привычный для "наблюдателей" (то есть, то, что мы подразумеваем под словом "макроскопический масштаб"), это порядка 10 в степени двадцать-с-лишним масс протона. Разумеется, точного числа я вам не скажу в связи с размытостью определения, но в том, что степень будет не 10 и не 1000, можно быть уверенным.

В нашем мире мы это число называем числом Авогадро. Разумеется, определение числа Авогадро иное, но идейная сущность та же -- оно показывает, во сколько раз отделены друг от друга мир протона и макроскопический мир. И масса протона -- выраженная в привычных нам макроскопических единицах массы -- как раз и есть по порядку величины обратное число Авогадро. И его происхождение -- необходимость создать такую сложную структуру как наблюдатель из элементарных кирпичиков.

Отсюда, кстати, следует, что число Авогадро -- понимаемое в широком смысле -- константа гораздо более фундаментальная, чем скорость света и постоянная Планка. Можно представить себе мир, в котором эти константы будут иметь другие значения, но если в таком мире будет существовать анблюдатель, то порядок числа Авогадро будет примерно тем же самым.

[Комментарии на Элементах]

31 июля 2006 г.

Одно интересное явление

Я вот уже много лет наблюдаю одно интересное явление, но никаких серьезных исследований на эту тему не читал.

Если в чашку налить очень горячий кофе или чай и не трогать воду, то над самой поверхностью воды можно заметить тонкий слой "тяжелого пара", который не поднимается вверх, а как бы парит над поверхностью. Если чуть-чуть дунуть на чашку, то эта паровая пленка тут же смещается и снова останавливается, иногда образуя интересные узоры.

Наблюдал ли кто-нибудь еще эту пленку? Встречалось ли вам исследование этого эффекта?

[Комментарии на Элементах]

21 июля 2006 г.

Динамический хаос как информационная белая дыра

Черные дыры -- это астрономические объекты, в которые все падает и ничего не может выйти наружу. Белые дыры -- это гипотетические объекты, их которых, наоборот, всё сыпется наружу и ничего нельзя туда засунуть. Но речь тут пойдет не про астрофизику, а про информацию.

Читая статью Phys. Rev. Lett. 97, 024101 (2006), я познакомился с забавной точкой зрения на динамический хаос.

Динамический хаос -- это, вкратце, такая ситуация. Законы, описывающие движения системы, простые, четкие и не содержат ни капли случайности, но предсказать поведение системы, начальное состояние которой нам известно, удается только для очень близкого будущего.

Причина заключается в том, что слова "нам известна" всегда означают "нам известна с какой-то точностью". Система с динамическим заосом -- это такая система, в которой погрешности нашего знания о начальном состоянии системы с ходом времени катастрофически возрастают.

Самый простой пример: эволюция некоторого начального числа под действием пошагового преобразования:

zn+1 = дробная часть от (2*zn).

Пусть известно начальное число: z0 от 0 до 1. Запишем его число в двоичном виде: 0,11011000101. В природе все величины всегда известны с какой-то точностью, поэтому будем считать, что число z0 известно с точностью до нескольких (N) битов. Но само по себе оно существует как абсолютно точное число, это важно.

Наше преобразование -- это просто сдвиг битов влево и отбрасывание целой части. Мы пытаемся предсказать, что будет с исходным числом после нескольких последовательных шагов,

0,1011000101?
0,011000101??
0,11000101???
.....................
0,01??????????
0,1???????????
0,????????????

Здесь знак вопроса означает бит, значение которого мы, исходя из известного нам начального состояния, предсказать не можем. Число в последней строчке получается поэтому вообще неопределенным.

В то же время, если этот процесс "запустить в эксперименте" и постоянно наблюдать за результатом каждого шага, то результаты "измерений" будут всегда какие-то конкретные. Т.е. эволюция сама нам поставляет те нули и единички, которые вначале мы не могли измерить. Другими словами:

    динамический хаос -- это информационная белая дыра, которая "выдает" наблюдателю новые и новые биты информации, которые ранее ему были недоступны.

Получив эти биты, мы, задним числом, знаем куда больше о начальном состоянии системы, но, к сожалению, отправить в прошлое эту информацию уже нельзя.

Идем далее. Оказывается, существуют системы, про которые можно говорить, что у них есть динамический хаос при обращении времени. Именно про это и была статья Phys. Rev. Lett. 97, 024101 (2006).

Примером может служить любая затухающая система, которую время от времени "толкают" внешней случайной вынуждающей силой. На нашем математическом примере -- это система с таким законом:

zn+1 = (zn + qn)/2

где qn -- это случайный бит, добавляемый на n-ном шаге.
Начальное число при таком законе преобразования будет сдвигаться вправо, а после запятой будет дописываться бит qn.
Этот процесс есть просто обращенный во времени предыдущий процесс.

В результате если мы будем следить за зволюцией какого-то начального числа (как всегда с какой-то определенной точностью!), то вскоре вся известная нам начальная информация как бы "исчезнет", станет нам недоступной, "уйдет за горизонт". Такой закон преобразования служит уничтожителем информации, своего рода "информационной черной дырой".

[Комментарии на Элементах]

10 июля 2006 г.

Википедия наносит ответный удар. По Британнике

Читая объяснения приливов и отливов, наткнулся на утверждение, что Луна притягивает Землю сильнее, чем Солнце. Очень удивился, потому что помню давно, что даже Земля притягивает Луну, слабее, чем Солнце, и уж тем более Луна притягивает Землю слабее, чем Солнце Землю. Но вычислять было лень, поэтому полез на Британнику, 2001 года. Там черным по белому написано:

"At the surface of the Earth the gravitational force of the Moon is about 2.2 times greater than that of the Sun."

Совсем удивился и взялся за подсчет. Так вот, на самом деле на поверхности Земли гравитационная сила Солнца почти в 200 раз превышает силу притяжения Луны. Только, правда, для объяснения приливов требуется не эта сила, но это отдельная песня.

Сегодня проверил -- исправлена ли эта ошибка в текущей версии Британники. Проверяем: нет, не исправлена! В качестве сравнения скажу, что в Википедии этой глупости, разумеется нет.

Выходит, авторитет Британники -- дутый? Фактическая информация, написанная кем-то второпях(?), просто не проверяется никем годами. И заметьте, речь идет не о какой-то мелкой ошибке или незначительном факте. Речь идет об ошибке почти на три порядка в объяснении простого природного явления. Этот ошибочный текст за эти годы прочитали -- и поверили в него (ведь это Британника!) -- большое число человек.

[Комментарии на Элементах]

5 июля 2006 г.

Радуга

Кстати, такое вот наблюдение. Оказывается, очень многие люди по-настоящему не понимают -- недопонимают, скорее -- причину образования радуги. Обычно говорятся стандартные слова про то, что лучи разного цвета, преломляясь, выходят из капли под разными углами, что капля работает как призма с внутренним отражением, разлагая солнечный спектр, и этот разложенный спектр мы и видим.

Слова про разложения спектра, конечно, верные, но они не объясняют радугу. Они годились бы для случая, когда очень тонкий луч света попадает во вполне конкретное место на капле. Тогда лучи разных цветов выходили бы каждый под своим углом, и всё было бы прекрасно.
Однако в реальности свет падает в каплю сразу во все места.
Поэтому если мы смотрим на каплю под каким-то конкретным углом, то мы рискуем увидеть сразу все цвета (т.е. белый цвет).

А для объяснения того, почему всё же видно разноцветную радугу, требуется следать следующий шаг, но про него обычно забывают.

[Комментарии на Элементах]

29 июня 2006 г.

Тривиальный и банальный

В русском языке слова "тривиальный" и "банальный" имеют существенно отличающиеся значения. Тривиальный -- это простой, не обладающий сложностью. Банальный -- это не столько "простой", сколько не обладающий интересностью, самый наиобычнейший, и к тому же какой-то приземленный.

В русском математическом языке часто встречается слово тривиальный. Тривиальные решения, тривиальное преобразование -- это все, что похоже на "нуль", т.е. все, что не представляет собой ничего "нетривиального".

Интересно, что в итальянском эти слова имеют практически противоположный смысл!

Тривиальный -- значит приземленный, "по-крестьянски простецкий", глуповато-плосковато-грубый. Этимология слова -- от "трёх дорог", т.е. места в древних поселениях, где раньше собирался простой люд, которому было нечего делать, и вёл свой простецкий "базар". В научной речи это слово не используется.

А в итальянском математическом языке то, что у нас называется тривиальным, там называется банальным. Банальное преобразование, банальные корни уравнения и т.д.

Такие вот особенности.

[Комментарии на Элементах]

Технология детектирования гравитационных волн

Тут сообщением ниже развернулась дискуссия про точность детектора грав. волн и используемые там технологии (по мотивам Преодолено препятствие на пути к высокочувствительному детектору гравитационных волн). Мне кажется полезным вынести его в отдельную ветку.

Я хочу подчеркнуть очень простое соображение.

Эксперимент может обладать сногсшибательной точностью на изменения, колебания какой-то величины, но не иметь возможности найти абсолютное значение этой величины с такой же точностью.

Самый простой пример. Пусть у вас на столе стоит стакан, и у вашего друга в Австралии -- тоже. Пусть вы сдвинули ваш стакан ровно на миллиметр, а ваш друг свой стакан не трогал. Тогда вы можете сказать, что расстояние между двумя стаканами изменилось на вполне определенное расстояние, связанное с вашим сдвигом и углом между направлением сдвига и направлением на Австралию. Но измерить с такой же точностью САМО это расстояние, его абсолютное значение вы не можете. И эти два факта друг другу никак не мешают.

В детекторе гравитационных волн -- аналогично. Поскольку всё состоит из атомов, а атомы имеют нечеткие границы, то расстояние между зеркалами в принципе нереально измерить с точностью лучше чем несколько долей ангстрема. Тем не менее, измерить изменение этого расстояния на очень малую величину -- можно.

Всё это говорит о том, что высокой точности изменения можно достичь и без столь же высокой точности изготовления компонент. А вот то, чт действительно требуется -- это высокая стабильной и отсутствие шумов.

Так что для компенсации тепловой расстройки оптической системы надо проследить, чтоб эта расстройка была стабильна во времени, и компенсировать ее аналогичной "по силе" противоположной по "направлению" и, самое главное, столь же стабильной искусственной расстройкой.

[Комментарии на Элементах]

28 июня 2006 г.

Нехорошая тенденция

Какая-то прискорбная тенденция пошла. Уже не в первый раз вижу отклик о своих заметках в духе "Бред. Опять журналисты, небось, все напридумывали и переврали". Люди настолько свыклись с мыслью, что научно-популярные новости в онлайн изданиях пишут только журналисты, причем исключительно неграмотные журналисты, что на авторство статьи им даже лень смотреть. Хотя у меня и статьи всегда подписаны, и ссылки на оригиналы статей всегда стоят. А на поверку оказывается, что человеку просто не поверилось в то, что было сделано в исследовании.

[Комментарии на Элементах]

26 июня 2006 г.

Электрон-позитронная аннигиляция в состояние с положительной четностью

Удивительно, что такой простой процесс, как аннигиляция электрон-позитронной пары в адронное состояние с положительной чётностью (идущая через два фотона), впервые экспериментально измерили только сейчас, см. статью коллаборации BaBar hep-ex/0606054.

Конечно, сечение такого процесса подавлено в alpha^2 раз по сравнению с "однофотонной" аннигиляцией. Однако похоже там есть еще какое-то подавление, потому что сечение процесса e^+e^- --> rho^0 rho^0 составляет всего 20 фб, т.е. в миллионы раз меньше, чем "однофотонная" аннигиляция. Интересно, что это за дополнительное подавление.

[Комментарии на Элементах]

23 июня 2006 г.

Математическая задачка посложнее

Теперь вниманию публики предлагается задачка по стереометрии. Условия -- точно такие же, как в предыдущей плоской задаче, только на этот раз -- в трех измерениях.

Чтоб сразу не стало скучно, скажу, что ситуация тут получается чуть хитрее, и до конца я в ней и сам пока не разобрался. Не хватает трехмерной воображалки :)

[Комментарии на Элементах]

Когда начнется эра LHC

Коллайдер LHC (с которым сейчас связаны основные надежды на прогресс в физике элементарных частиц) вступит в строй в середине 2007 года, но, оказывается, в течение первого года он будет, по сути, тестироваться. Первые месяцы работы полная энергия столкновений в системе центра масс будет всего 1.8 ТэВ, что сравнимо с энергией на Тэватроне. За это время изучат и отладят детекторы (да и сам пучок), но никаких новых физических результатов получить там не надеются.

Подробнее тут.

Первые столкновения с полной энергией столкновений 14 ТэВ запланированы не ранее, чем на апрель 2008 года. Первые результаты, соответственно, можно ждать осенью 2008 года.

Кстати, оказывается LHC работать будет только весной-осенью, а с Ноября по март он будет замораживаться. Интересно, с чем именно это связано?

[Комментарии на Элементах]

21 июня 2006 г.

Простая математическая задачка

Задам-ка я простую математическую задачку. :)

Дана плоскость и на ней, для простоты -- координатная сетка. Двумерные вектора на этой плоскости обозначим ri.
Пусть задано отображение ri в r'i = Aijrj + Bi с некоторой симметричной и вещественной матрицей Aij и некоторым, тоже вещественным, двумерным вектором Bi.

Вопрос -- сколько на единичной окружности существует точек ri, для которых r'i окажется параллельно ri?

Если кому-то трудно представлять в терминах матрицы, то можно представить так: действие матрицы Aij на вектор -- это увеличение в ax раз иксовой координаты этого вектора и в ay раз -- игрековой координаты.

[Комментарии на Элементах]

17 июня 2006 г.

"Супер"-конференции

Сегодня закончилась конференция SUSY2006, посвященная суперсимметрии (SUSY = SUperSYmmetry) и основанным на ней теориям. Напомню, что одна из главных надежд, связанных с ускорителем LHC в ЦЕРНе -- это открытие суперсимметричных частиц и доказательство того, что придуманная физиками суперсимметрия действительно имеет место в природе.

Кроме того, среди докладов хочу обратить внимание на специальную сессию, посвященную тому, что такое "естественная теория" (naturalness).

Если кому интересно, вот пара блогов (1 , 2), освещавших эту конференцию в прямом блогэфире.

Кроме того, вскоре пройдет также конференция Strings-2006, посвященная теории суперструн. Напомню, что несмотря на оптимистичный тон лекции Дэвида Гросса, в теории суперструн сейчас кризис, связанный с проблемой ландшафта. За последний год появилось много статей, предлагающих выходы из тупика. Интересно будет узнать "совокупную" оценку текущей ситуации от участников конференции.

[Комментарии на Элементах]

13 июня 2006 г.

Геометрические аспекты систем линейных уравнений

У меня тут в процессе решения одной задачи появилась интересная геометрическая интерпретация системы линейных уравнений (зависящих еще и от параметра) в терминах каустик. Вроде такого: если вектор, дающий правую часть системы, лежит внутри некоторого конуса, образованного каустиками, то решений 4, если снаружи -- то решений 2.

Кто-нибудь встречался с применением каустик к таким системам? Вещь-то простая, наверняка исследовалась уже.

[Комментарии на Элементах]

12 июня 2006 г.

Физика над конечными полями

Публичная лекция Арнольда про последовательности нулей и единиц навеяла вот какие мысли.

Практически вся физика описывается непрерывной математикой, в основе которой лежат вещественные числа. Отчасти из-за этого многие задачи являются (пока) неразрешимыми. Возникает вопрос: а если переформулировать разделы физики на ситуацию с дискретными или вообще конечными полями, удастся ли решить такие дискретные аналоги неразрешимых пока задач?

Речь идет не о дискретизации пространства(-времени), а о дискретности физических и математических объектов, которые на нем живут. Скажем, в обычной квантовой механике состояния системы описываются векторами в гильбертовом пространстве. Но всегда подразумевается, что это гильбертово пространство над полем комплексных чисел.

А если заставить вектора состояний "жить" в пространстве над конечными полями?

В частности, максимально упрощая ситуацию, можно рассмотреть квантовую механику над полем F2 -- т.е. грубо говоря, как у Арнольда, над полем нулей и единиц. При этом само гильбертово пространство, подчеркну, пусть остается бесконечномерным. Интуитивно кажется правдоподобным, что решать сложные задачи квантовой теории поля (например, конфайнмент?) над столь простым полем будет легче, чем над континуумом.

В принципе, в сети встречаются термины "finite quantum mechanics" и "finite quantum field theory", но, похоже, это не то.

[Комментарии на Элементах]

4 июня 2006 г.

Гравитация и хиггсовские поля

У читателя, изучающего современную физику по научно-популярным материалам, может сложиться впечатление, что гравитация возникает за счёт хиггсовского поля. Логика тут простая: везде пишут, что в стандартной модели есть специальный механизм (называемый хиггсовским), который придает частицам массу. А раз есть масса, от есть и гравитация. Нет массы -- нет гравитации. Так вот, все далеко не так.

Хиггсовский механизм действительно придает массу частицам, в частности, кваркам и электронам, из которых состоит вещество. Происходит это, образно говоря, так. Вначале все частицы были безмассовы, но зато были связаны с некоторым полем. Потом произошло нарушение симметрии, и вакуум оказался пронизан хиггсовским полем (не частицами, а именно вездесущим полем). Под действием сил, частицы продираются сквозь это поле так, словно у них есть масса. (Заметьте, тут речь идет про инертную массу.) И чем сильнее частицы была связана с полем, тем больше у нее получится масса.

Однако тут уже есть "но". Кварки, из которых сложено вещество, связаны с хиггсовским полем довольно слабо. Если бы масса вещества определялась только этой их связью, то протон и нейтрон весили бы примерно в сто раз меньше, чем на самом деле. Подавляющая же доля массивности протонов и нейтронов происходит из-за массивности того сгустка глюонного поля, который есть внутри них и который связывает кварки вместе.

Повторю еще раз: глюоны рассматриваемые как гипотетические отдельные частицы -- безмассовы. Но тот сгусток глюонных полей, который есть внутри нуклонов -- обладает массой. Удивительного в этом ничего нет. Точно так же фотоны как отдельные кванты безмассовы, но если запереть внутри маленькой идеально отражающей сферы много фотонов, но электромагнитное поле будет обладать плотностью энергии, и значит, будет придавать сфере в целом дополнительную массу. С глюонами, конечно, хитрее, там есть вакуумный конденсат, но суть похожая.

Вот и получается, что масса протона получается из-за глюонов, хотя глюоны сами с хиггсовским полем непосредственно не связаны. Это значит, что в мире и без хиггсовского поля у протона все равно была бы масса.

Второй шаг: переход к гравитации.
Фотоны массы не имеют, но гравитацию чувствуют, поэтому для выяснения интересующих нас вопросов ньютоновской гравитации, очевидно, недостаточно. В ОТО говорится, что гравитация -- это видимое нами проявление искривления пространства-времени. И порождает это искривление не масса, а тензор энергии-импульса. Т.е. любое "нечто", имеющее энергию и импульс, создает искривление пространства-времени. В частности, безмассовое поле -- в виде летящих вперед частиц или в виде локализованных полей, не важно -- обладает ненулевым тензором энергии-импульса, а значит, является источников гравитации.

Поэтому в мире без хиггсовского поля гравитация преспокойно бы осталась. Если бы там были массивные протоны -- то она была бы в привычном нам виде, Но даже если бы все частицы были безмассовы, то они бы все равно гравитационно притягивались, поскольку обладали бы энергией и импульсом.

PS
На самом деле, слова "гравитация" и "хиггсовское поле" вместе в научной литературе встречаются. См. например статьи hep-th/0503024 и gr-qc/9405013. Но там рассматривается другая идея: попытка представить гравитацию как явление спонтанного нарушения некоторого поля, в духе хиггсовского механизма. Это уже совсем не "то" хиггсовское поле.

[Комментарии на Элементах]

30 мая 2006 г.

Этруски

Очень удивила заметка про этрусков на Газете.ру. Удивила тем, что на каждом шагу повторяется "загадка исчезновения этрусков".

Я конечно могу ошибаться, но в тех книжках, которые я читал, вполне четко описывается конец их цивилизации: древних римлян этрускская цивилизация настолько сильно раздражала своим культурным превосходством, что когда их военная мощь окрепла, они просто начисто сравняли с землей все их поселения, истребили почти все население, а небольшие остатки расселили по уголкам своей империи. Поэтому на территории современной Тосканы этрусков просто не осталось. Нет никакой загадки.

Или же у современной истории древнего мира другой взгляд на эту проблему?


А вообще этруски, их быт, произведения искуства, отношение к жизни было поразительно радостное, совершенно необычное для древних народов. Пляски, веселье, улыбки на лицах скульптур, удивительное для древних культур равноправие мужчин и женщин. Они отличались от древних римлян примерно так, как отличаются произведения искуства эпохи Возрождения от темного средневековья.

[Комментарии на Элементах]

24 мая 2006 г.

Повсюду степенные зависимости

Меня удивляет, насколько популярным занятием стала аппроксимация всяческих зависимостей, связанных с деятельностью человека, степенными функциями. Зависимость количества ученых от их индекса цитирования, зависимость частоты встречаемости чисел в интернете от величины этих чисел, зависимость числа ЖЖурналов от количества френдов и т.д. Сейчас вот появилось сообщение о степенной зависимости количества военных конфликтов от количества жертв.

Я конечно не против статистики самой по себе, но какое это имеет отношение к науке? А ведь в заметке (и не только там) это подаётся прямо как математическое достижение или наблюдение какого-то очередного фундаментального закона. Более того, на основании такого анализа делается прогноз на будущее.

Нет тут никакого достижения или закона, есть просто прикладывания линейки. Пытаться на основании статистического анализа предсказывать будушее -- это словно считать, что закон Мура -- это настоящий закон природы и развитие компьютеров ему неизбежно будет следовать.

Не спорю, в физике бывают ситуации, когда степенная зависимость тесно связана с масштабной инвариантностью или самоорганизованной критичностью. В этих случаях действительно есть смысл искать степенные зависимости в экспериментальных данных. Если уж на то пошло, то и в теории слабо связанных графов могут встречаться такие тесные зависимости. Но в любом случае -- их сначала надо доказывать, а потом уже искать в наблюдательных данных.

На мой взгляд, такого типа работы и сообщения о таких работах опошляют, что ли, науку. Это из той же серии, что постоянное тиражирование "зеленый чай полезен для здоровья", "зеленый чай бесполезен для здоровья"...

[Комментарии на Элементах]

22 мая 2006 г.

Хочется смешать скаляр и вектор

Рассмотрим две частицы со спином 1/2. Объединяя их, получаем, как известно, триплет со спином 1 и синглет со спином 0. Триплет (т.е. неприводимое представление в пространстве С(1,1)) можно отобразить на вещественный трёхмерный вектор r_i -- т.е. неприводимое представление в пространстве R^3. Синглет так и остается синглетом, скаляром; обозначим его r_0.

Теперь вопрос. Мне очень хотелось бы рассматривать r_i и r_0 не как независимые объекты, а как компоненты какого-то более общего и более симметричного объекта. Возможно ли такое рассмотрение?

Ясно, что если оно и существует, то оно должно быть навязано как-то извне. "Внутри" этого построения нет ничего, что натолкнуло бы на такое объединение. Действительно, произвольные унитарные преобразования спина 1/2 -- элементы группы SU(2)xU(1) -- приводят самое большее к вращению вектора в 3D, а скаляр остаётся при этом скаляром. Перемешивание скаляра и вектора никаким унитарным вращением спинов не получишь. Но может есть какое-то более хитрое, более глубокое описание этой ситуации?

[Комментарии на Элементах]

30 апреля 2006 г.

Журнал "Reports on Progress in Physics" -- top12 за 2005 год

Есть такой журнал -- Reports on Progress in Physics, в котором часто попадаются крайне интересные обзорные статьи по разным направлениям физики, открытые к тому же для бесплатного просмотра всем желающим.

Сейчас наткнулся на подборку лучших, по мнению редакции, статей, опубликованных в этом журнале в 2005 году.

Перечислю только названия:

  1. The mass of the photon -- Масса фотона
  2. The Casimir force: background, experiments, and applications -- Сила Казимира: основы, эксперименты, приложения
  3. Physics of negative refractive index materials -- Физика материалов с отрицательным коэффециентом преломления
  4. Electron tunnelling in self-assembled monolayers -- Туннелирование электронов при самосборке моноатомных уровней
  5. The physics of snow crystals -- Физика снежинок
  6. The structure of the world from pure numbers -- Происхождение структуры мира из одних лишь чисел
  7. Single-photon sources -- Однофотонные источники
  8. Reflection anisotropy spectroscopy -- Спектроскопия на основе анизотропного отражения
  9. Global warming -- Глобальное потепление
  10. Near fields in nanostructures -- Ближние поля в наноструктурах
  11. Physical limits of silicon transistors and circuits -- Физические ограничения кремниевой микроэлектроники
  12. The mathematics and physics of knots -- Математика и физика узлов


Очень занимательная подборка, рекомендую!

[Комментарии на Элементах]

24 апреля 2006 г.

Геометрическая программа Ленглендса как раздел теоретической физики

Обращаю внимание на свежую статью А.Капустина и Э.Виттена hep-th/0604151. Это 225 страниц совершенно отпадной математики, которая, как утверждают авторы, вполне естественно вытекает из теорфизических рассмотрений :)

(Вообще, слухи, что Виттен пишет нечто большое, ходили уже не первый год, и вот результат. Поговаривают также, что Виттен кроме этой статьи вскоре закончит и книгу по этому вопросу.)

Геометрическая программа Ленглендса -- это обширное направление исследований в математике, призванное соединить методы теории чисел, анализа и алгебраической геометрии. Иногда высказывается ожидание, что если ключевые этапы этой программы будут реализованы, произойдет некая "униформизация" математики. Поскольку этот предмет я совершенно не знаю, могу только дать ссылку на ресурсы, к тому же англоязычные, например, Geometric Langlands Program. У меня не получилось найти общедоступное изложение этого направления на русском языке. (Чуть-чуть про нее написано тут).

В статье Капустина и Виттена показывается, что некоторые абстрактные математические структуры, которые казались чересчур искусственными для этой программы с точки зрения чистой математики, приобретают на самом деле вполне естественную интерпретацию в квантовополевых терминах. Сам Виттен в докладе про эту же работу подчеркивал, что это никакая не революционная статья, но надеялся, что она подтолкнет прогресс в этой области.

Некоторое обсуждение этой статьи можно найти тут.

[Комментарии на Элементах]

Интерференция между разными фотонами

Когда я писал недавно новость Еще один шаг на пути к квантовым компьютерам: интерференция двух разных фотонов, меня привлекла не прикладная сторона вопроса, а именно сам процесс интерференции двух независимых фотонов.

Если посмотреть стандартные учебники по оптике, то везде пишут, что при стандартной интерференции каждый фотон интерферирует сам с собой. Поль Дирак в своей книге "Квантовая механика" написал прямо: "Интерференции двух разных фотонов не бывает." Однако это утверждение оказалось ошибочным. Например, в главе 16 "Интерференция независимых световых лучей" книги "Оптическая когеретность и статистика фотонов" Глаубер (Нобелевский лауреат 2005 года) пишет, что нет никаких принципиальных проблем с наблюдением интерференции между двумя световыми лучами, испущенными разными лазерами. Более того, этот эффект вообще не требует квантовомеханического описания. Ведь в пределе малой частоты колебаний мы получаем просто медленно меняющиеся электромагнитные поля, для которых работает классический принцип суперпозиции, а именно он и приводит к интерференции. Кстати, интерференция независимых радиоволн экспериментально наблюдалась очень давно.

Насколько я понимаю, основная техническая проблема с наблюдением интерференции двух разных лучей света -- это потеря когерентности. Рассмотрим процесс переход атома из воббужденного состояния в основное, при котором излучается фотон. Этот происходит не мгновенно, а занимает какое-то время; типичные времена -- десятки наносекунд и больше.
Если бы излучение происходило с одним единственным атомом, который первоначально покоился, то весь излученный фотон был бы когерентен, т.е. фаза колебаний электромагнитных полей росла бы со временем абсолютно равномерно.

В обычной ситуации, однако, атом находится в окружении других атомов, с которыми он часто соударяется. Даже в воздухе при нормальных условиях каждая молекула за 1 нс успевает столкнуться несколько раз, а в твёрдых телах столкновения происходят чаще, чем 1 раз за пикосекунду. То есть, в течение процесса излучения одного фотона, атом успевает испытать много столкновений. После каждого столкновения происходит, во-первых, сбой фазы, а во-вторых, изменяется скорость, и из-за допплеровского смещения частоты изменяется скорость набегания фазы. Все это приводит к тому, что осцилляции полей даже в одном фотоне, разделенные небольшим помежутком времени, уже некогерентны. Когерентность будет только, если заставить фотон интерферировать с самим собой, причем лишь с очень небольшой сдвижкой.

В этой ситуации два источника света одной и той же частоты будут еще более некогерентными. Причем такая некогерентность будет иметь место при любой сдвижке одного фотона относительно другого. Если эти два источника направить на экран, то в области пересечения интерференционная картина действительно будет, но она будет столь быстро плясать, что в среднем все смажется и никакой интерференции видно не будет. Т.е. каждая пара фотонов, прилетающих на экран, будет интерферировать, но если усреднить по всем фотонным парам, то получится просто наложение световых лучей.

Улучшить когерентность можно двумя способами. Во-первых, можно взять лазер. Время когерентности в лазером луче составляет миллисекунды и выше. Глаз это точно не заметит, но фотодатчики должны заметить. Действительно, интерференция между двумя независимыми лазерными лучами ыла наблюдена впервые в 1963 году, статья: G. Magyar and L. Mandel, Nature (London) 198, 255 (1963).

Однако есть иной способ: убрать тепловые колебания и столкновения с другими атомами. В том эксперименте, про который я писал, как раз добились такой ситуации: в каждой ловушке сидел ровно один атом (т.е. ему не с кем было сталкиваться) с очень малой энергией (она отвечала температуре в 100 микрокельвинов). В результате собственное движение атома практически не нарушало когерентность излучаемых фотонов. Ну и кроме того, в эксперименте было высокое временное разрешение: порядка наносекунды (фотон излучался за 23 нс). Именно поэтому удавалось зарегистрировать интерференцию пофотонно.

Дополнение:

(1)
Интерференцию двух независимых фотонов не стоит путать с совершенно иным эффектов: интерференцией двухфотонных (и многофотонных) состояний. Двухфотонное состояние -- это когда есть два фотона в одном и том же квантовом состоянии. Можно сделать так, чтоб это состояние прошло по двум разным путям, не распадаясь на отдельные фотоны, и вновь соединилось на экране. При такой интерференции двухфотонного состояния с самим собой получится интерференционная картина с вдвое более частыми полосами. Она была обнаружена экспериментально в 2004 году.

(2) Глаубер пишет, что вопрос о возможности интерференции двух независимо излученных фотонов долго оставался предметом спором и недоразумений, но историю вопроса он умалчивает. Было бы интересно почитать про это. Но я сейчас покопался в литературе, и вижу, что споры продолжались и после опытов 1963 года.

В частности, в 1967 году те же авторы поставили аналогичный эксперимент (Phys. Rev. 159, 1084–1088 (1967)), в котором интенсивность лазерных лучей была столь мала, что фотоны прилетали на экран очень редко. Т.е. один фотон прилетел и поглотился задолго до того, как прилетит следующий за ним фотон. Тем не менее, интерференция между двумя лазерами была и в этом случае!

Сами авторы дают интерпретацию этого поведения как интерференцию фотона с самим собой, но это неверная интерпретация! Правильная интерпретация была дана чуть позже де Бройлем и соавтором в статье Phys. Rev. 172, 1284–1285 (1968). Они подчеркивают, что излучение фотона (точнее, "просачивание фотонной волновой функции" из лазеров наружу) есть непрерывный процесс. Эти две просачивающиеся из разных лазеров волновые функции интерферируют всегда, даже если детектор в течение какого-то времени не регистрирует никаких фотонов. А уж когда "накопится" достаточно большая вероятность для регистрации очередного фотона, тогда она и происходит, но в полном соответствии с картиной интерференции двух разных лучей.

[Комментарии на Элементах]

20 апреля 2006 г.

А раньше и трава была зеленее...

Мысль, конечно, стара как мир, но всё же поразительно, как всё расскладывается по полочкам, когда читаешь старые обзорные статьи, т.е. статьи, написанные в "героический" период активного изучения вопроса.

Сейчас вот сижу, читаю Rev. Mod. Phys. 50, 261 (1978), обзорную статью про высокоэнергетические реакции фотонов с адронами.

Первая глава посвящена спокойному осуждению модели векторной доминантности с самых разных сторон. Казалось бы, один из самых простых вопросов адронной физики, ничего сложного, но в современных статьях для эти простых слов не находится места. Все ограничиваются телеграфной формулировкой и переходят к более современным вопросам. И я всегда к этой модели относился как-то свысока, как к устаревшей наивной картинке, и потому толком никогда первоисточники не читал -- не до того было.

Теперь вот пишу небольшую статью про поправки к этой модели за счет мезона ро3 (а точнее, про переформулировку процессов рождения этого мезона на языке векторной доминантности). Все расчеты к ней проделал, основной текст написан, и захотелось почетче понять саму первоначальную модель. Читаю вот обзрор и сам удивляюсь, как некоторые формулировки, картинки, формулы наводят порядок в голове.

Жаль, правда, что многие другие старые статьи (особенно советских физиков) в электронном виде не доступны.

[Комментарии на Элементах]

14 апреля 2006 г.

И снова про Сивухина

Судя по откликам (1, 2), многие так и не поняли, что я хотел объяснить в посте Пятитомник Сивухина.

Повторяю: был задан вопрос, изучал ли я ФЭЧ по Сивухину. Этот вопрос потом был задан и другим физикам. Я попытался объяснить, что пятитомник Сивухина -- это не тот учебник, по которому можно научиться работе физика, поэтому такой вопрос совершенно мимо. Это словно спрашивать работающего математика, изучал ли математику по какому-нибудь учебнику с названием "Высшая математика".

Я еще раз повторяю: учебник Сивухина хорош как первый университетский учебник физики. В нем много фактического материала по общей физике. Он, по-видимому, хорошо настраивает физическое чутьё. По нему можно успешно заниматься самостоятельно. И этого я никогда не отрицал.

И уж разумеется, я совершенно не собирался умалять преподавательский дар самого Сивухина.

Я утверждаю следующее. Если речь идет об обучении будущих ученых-физиков, этот учебник с абсолютной необходимостью должен быть дополнен более серьезными и специальными книгами. Причем по ВСЕМ разделам, начиная с механики. И причем для физика любой специальности.

К сожалению, комментарии только подтверждают мое подозрение, что многие физтехи (и только физтехи) слегка "сдвигаются", когда речь заходит об этом учебнике. Начинаются какие-то неадекватные священные лозунги, которые никаким боком не касаются того конкретного утверждения, которое я высказал; какие-то попытки продолжать "мою логику" и т.д. Жаль.

[Комментарии на Элементах]

12 апреля 2006 г.

Аналитическое решение КХД в двумерном мире

Когда я составлял список самых значимых, на мой субъективный взгляд, работ по теоретической физике в 2005 году, я пропустил одну статью, которую сейчас включил бы не задумываясь.

Это работа hep-th/0512111, авторы Robert G. Leigh, Djordje Minic, Alexandr Yelnikov. На днях появилась их же подробная статья hep-th/0604060, которая описывает все детали вычислений.

В ней аналитически вычисляются массы связанных состояний в квантовой хромодинамике в двумерном мире (при большом количестве цветов). Правда, речь идет о мире "без вещества", т.е. о мире, в котором сильное взаимодействие связывает не кварки, а глюоны (кванты сильного взаимодействия), приводят к образованию разнообразных глюболов. Массы глюболов были выражены абсолютно явно, через положения нулей функций Бесселя. Согласие с имеющимися результатами численных расчетов в рамках КХД на решетках -- превосходное.

Конечно, от этой задачи до нашего, настоящего мира, еще пилить и пилить. Тем не менее, аналитическое решение и в таком случае -- очень серьёзный успех в направлении решения одной из Проблем тысячелетия (за решение которой присужден приз в миллион долларов). По крайней мере, сейчас видно, что эта статья открывает новое направление для дальнейших исследований.

[Комментарии на Элементах]

7 апреля 2006 г.

Физический глазомер

Кстати, такой простенький вопрос на засыпку. Сможете ли вы оценить сразу, по своему опыту или интуиции, без вычислений, с какой высоты надо уронить тело, чтоб оно в свободном падении приобрело скорость полметра в секунду?

[Комментарии на Элементах]

28 марта 2006 г.

Компьютерное моделирование настоящей жизни

Меня очень впечатлило то исследование, о котором недавно писал Александр Сергеев в заметке Построена компьютерная модель живого организма на атомном уровне.

Прочитав заголовок, я вначале подумал, что тут явно какое-то преувеличение, но потом стало понятно, что действительно речь идет о настоящем моделировании процесса жизни на уровне движения отдельных атомов.

Из пресс-релиза было не вполне понятно, какие именно проявления жизни удалось обнаружить. Все-таки промежуток времени мал, и если бы исследователи сообщили о том, что они построили статическую модель вируса и наблюдали только тепловые колебания отдельных атомов, это было бы далеко не так интересно. Поведение отдельных макромолекул сейчас исследуется вдоль и поперек.

Чтение оригинала прояснило картину.

Авторами было проведено 5 различных "прогонов": только оболочка, только вирион и, наконец, полностью вирион+оболочка. Во всех случаях речь вирус был погружен в небольшой объемчик воды с растворенными в нем ионами.
В каждом заходе было промоделировано от 10 до 13 наносекунд жизни этого вируса (шаг по времени составлял 1 фс; 10 нс отвечают 10 миллионам шагов). Но даже в течение такого небольшого промежутка времени действительно были обнаружены явления, которые иначе как "физиология вируса" и не назовешь.

Например, было обнаружено, что оболочка вируса вполне хорошо пропускает воду. Типичные потоки воды внутрь и наружу были порядка 800 молекул за наносекунду. Стандартное поведение вируса было такое: сразу после запуска моделирования концентрация воды внутри вируса резко падала, но затем постепенно возрастала и через нескольких наносекунд стабилизировалась на чуть более высоком значении, чем первоначальное. В случае одной только оболочки стабилизации количества воды не происходило: т.е. действительно наличие РНК изменяет молекулярные потоки сквозь оболочку.

Еще одним важным наблюдением были корреляции между колебаниями отдельных частей вируса. Вообще, тепловое движение хаотично, но если отдельные элементы связаны определенным образом, то их тепловые колебания могут оказаться очень скоррелированными. Именно такие корреляции были найдены и в колебаниях вируса. Т.е. наблюдалось буквально "организованное движение" внутри вируса.

Очень интересны и электрические свойства вируса. Вообще, РНК должно иметь в среднем нескомпенсированный отрицательный заряд. Это наблюдалось и в данной работе, типичное значения заряда РНК составляло примерно -700 элементарных зарядов.

Для того, чтобы наиболее близко промоделировать реальность, в раствор, в котором плавал вирус, добавили ионы магния Mg2+ и хлора Cl-. Выяснилось, что ионы магния усаживались на РНК, что и стоило ожидать, а ионы хлора довольно свободно перемещались как внутри вируса, так и снаружи. Однако было замечено, что небольшая часть ионов хлора связывается изнутри с оболочкой. Это приводит к электростатическим силам, которые как бы отталкивают оболочку от центральной РНК.

Авторы приводят и карту электростатического потенциала внутри вируса (с разностью потенциала в несколько вольт между различными частями вируса). Наверняка, она тоже многое может рассказать специалисту. Моделирование одной только оболочки без вириона показало, что она сама по себе неустойчива, и постепенно начинает схлопываться. За 13 нс весь процесс коллапса оболочки проследить не удалось, однако было видно, что оболочка принимала неправильную форму: отдельные субъединицы оболочки теряли свою симметричную взаимную ориентацию и начинали двигаться внутрь.

Авторы честно признают, что на основании этого пока нельзя сделать вывод о том, к чему в конце концов этот коллапс приведет. Возможно, в конце получится цельная стабильная структура, не обладающая исходной симметрией, а возможно отдельные субъединицы оболочки просто разойдутся и все.

Тот факт, что отдельно вирион сам по себе стабилен, а отдельно оболочка -- неустойчива, означает, что в процессе жизни вирион сам выстраивает из окружающих материалов себе оболочку (а вовсе не находит готовую пустую оболочку для себя). Очевидно, этот процесс очень долгий и в рамках этого моделирования его не увидишь. Однако кое-какие выводы относительно справедливости уже выдвинутых теоретических предположений можно сделать. Например, моделирование показало, что исходная симметрия оболочки из-за тепловых колебаний вовсе не сохраняется при комнатной температуре. Это значит, что те гипотезы относительно построения оболочки, которые существенно опираются на высокую симметрию, по-видимому, неверны. Конечно, очень хотелось бы въявь увидеть процесс такого построения.

В этой работе на моделирование одной наносекунды требовались полные сутки компьютерного времени на 256 вычислительных узлах суперкомпьютерного центра. Но будем надеяться, что прогресс в вычислительной технике, а также в алгоритмах молекулярной динамики не остановится, так что наверняка в ближайшие годы речь пойдет уже о микросекундах жизни и больше.

Жутко интересно посмотреть, как же действительно живут живые организмы на уровне атомного движения!

[Комментарии на Элементах]